Chứng minh $n^3+3n^2+14n+18$ là bội của $6$.

2 bình luận về “Chứng minh $n^3+3n^2+14n+18$ là bội của $6$.”

1. n^3 +3n^2 +14n+18

   =n^3 +3n^2 +2n+12n+18

   =n(n^2 +3n+2)+6(2n+3)

   =n(n^2 +n+2n+2)+6(2n+3)

   =n[n(n+1)+2(n+1)]+6(2n+3)

   =n(n+1)(n+2)+6(2n+3)

   Vì n,n+1,n+2 là 3 số nguyên liên tiếp =>n(n+1)(n+2) vdots 2 ; n(n+1)(n+2) vdots 3

   Mà (2,3)=1=>vdots 2 .3=6

   6(2n+3) vdots 6

   =>n(n+1)(n+2)+6(2n+3) vdots 6

   =>n^3 +3n^2 +14n+18 vdots 6

   Vậy n^3 +3n^2 +14n+18 là bội của 6

   Trả lời
2. Giải đáp:

   Với n in ZZ, ta có:

   n^3 + 3n^2 + 14n + 18

   = (n^3 + 3n^2 + 2n) + (12n + 18)

   = n(n^2 + 3n + 2) + 6(2n + 3)

   = n[(n^2 + n) + (2n + 2)] + 6(2n + 3)

   = n[n(n + 1) + 2(n + 1)] + 6(2n + 3)

   = n(n+1)(n+2) + 6(2n + 3)

   Vì n in ZZ => {(n + 1 in ZZ),(n + 2 in ZZ),(2n + 3 in ZZ):}

   => {(n(n+1)(n+2) in ZZ),(6(2n + 3) in ZZ):}

   Do 6(2n + 3) in ZZ mà 6 vdots 6

   => 6(2n + 3) vdots 6    (1)

   Có: n(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp.

   Mặt khác, trong 3 số nguyên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3

   Mà (2,3) = 1

   => n(n+1)(n+2) vdots (2.3) hay n(n+1)(n+2) vdots 6    (2)

   Từ (1),(2) => n^3 + 3n^2 + 14n + 18 vdots 6

   => n^3 + 3n^2 + 14n + 18 là bội của 6

    

   Trả lời