Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF, AH cắt CD t

1 bình luận về “Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF, AH cắt CD t”

1. Giải đáp:

   a) $\mathrm{\Delta }ABF$ vuông tại $A$ ($\widehat{BAD}={90}^{\circ }$, $ABCD$ là hình vuông).

   $\Rightarrow \widehat{AFB}+\widehat{ABF}={90}^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn).

   $H\in BF\Rightarrow \widehat{AFB}+\widehat{ABH}={90}^{\circ }$.

   $\mathrm{\Delta }ABH$ vuông tại $H$ ($AH\mathrm{\perp }BF$).

   $\Rightarrow \widehat{ABH}+\widehat{BAH}={90}^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn).

   $\Rightarrow \widehat{AFB}+\widehat{ABH}=\widehat{ABH}+\widehat{BAH}$

   $\Rightarrow \widehat{AFB}=\widehat{BAH}$ (cùng bỏ $\widehat{ABH}$).

   Mà $H\in AM,E\in AB\Rightarrow \widehat{AFB}=\widehat{EAM}$.

   $ABCD$ là hình vuông (giả thiết).

   $\Rightarrow AB//CD$ (hai cạnh đối diện song song).

   Mà $E\in AB,M\in CD\Rightarrow AE//MD$

   $\Rightarrow \widehat{EAM}=\widehat{AMD}$ (cặp góc so le trong).

   Mà $\widehat{EAM}=\widehat{AFB}\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{AFB}$.

   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }AMD$ và $\mathrm{\Delta }ABF$ có:

   $AB=AD$ ($\mathrm{\Delta }ABCD$ là hình vuông).

   $\widehat{AMD}=\widehat{AFB}$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMD=\mathrm{\Delta }ABF$ (cạnh huyền-góc nhọn).

   $\Rightarrow AF=MD$ (hai cạnh tương ứng).

   Mà $AE=AF\Rightarrow AE=MD$.

   Xét tứ giác $AEMD$ ta có:

   $AE//MD$ (chứng minh trên).

   $AE=MD$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow AEMD$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

   Mà $\widehat{DAE}={90}^{\circ }$ ($ABCD$ là hình vuông).

   $\Rightarrow AEMD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

   b) $AB=CD$ ($ABCD$ là hình vuông).

   Mà $AE=MD\Rightarrow AB-AE=CD-MD\Rightarrow BE=CM$.

   $AB//CD$ mà $E\in AB,M\in CD\Rightarrow BE//CM$.

   Xét tứ giác $BEMC$ ta có:

   $BE=CM$ (chứng minh trên).

   $BE//CM$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow BEMC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

   Mà $\widehat{EBC}={90}^{\circ }$ ($ABCD$ là hình vuông).

   $\Rightarrow BEMC$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

   Đặt giao điểm $BM\cap CE=I$

   $\Rightarrow I$ là trung điểm của $BM,CE$.

   $I$ là trung điểm của $BM$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow HI$ là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }BMH$
   Mà $\mathrm{\Delta }BMH$ vuông tại $H\Rightarrow HI={\displaystyle \frac{1}{2}}BM$.
   Mà $BM=CE$ ($BEMC$ là hình chữ nhật) $\Rightarrow HI={\displaystyle \frac{1}{2}}CE$
   Và $HI$ là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }HCE$ ($I$ trung điểm $CE$).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }HCE$ vuông tại $H\Rightarrow HE\mathrm{\perp }HC$.

   

   Trả lời