Tìm nghiệm nguyên của phương trình `:` `x^2y+2y-2x+1=0`

1 bình luận về “Tìm nghiệm nguyên của phương trình `:` `x^2y+2y-2x+1=0`”

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Cách 1 :

   x^2 y+2y-2x+1=0

   <=>x^2 y -2x+(2y+1)=0(1)

   $\bullet$ Với y=0, khi đó phương trình (1)<=>x^2 . 0-2x+(2.0+1)=0

   <=>0-2x+(0+1)=0

   <=>0-2x+1=0

   <=>1-2x=0

   <=>2x=1

   <=>x=1/2(ktm)

   $\bullet$ Với y\ne 0, ta có :

   \Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4y(2y+1)=4-8y^2 -4y

   Phương trình có nghiệm <=>\Delta >=0

   <=>4-8y^2 -4y>=0

   <=>4(-2y^2 -y+1)>=0

   <=> -2y^2 -y+1>=0

   <=> -2y^2 -2y+y-1>=0

   <=> -2y(y+1)+(y+1)>=0

   <=>(1-2y)(y+1)>=0

   <=> \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}1-2y\geq 0\\y+1\geq 0\end{cases}\\\begin{cases}1-2y\leq 0\\y+1\leq 0\end{cases}\end{array} \right.\) 

   <=> \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y\leq \dfrac{1}{2}\\y\geq -1\end{cases}\\\begin{cases}y\geq \dfrac{1}{2}\\y\leq -1\end{cases}\text{ ( vô lí )}\end{array} \right.\) 

   <=> -1<=x<=1/2 

   Mà y\in ZZ=>y=-1

   Thay vào (1), ta được : 

   x^2 . (-1)-2x+[2.(-1)+1]=0

   <=> -x^2 -2x-1=0

   <=> -(x^2 +2x+1)=0

   <=> -(x+1)^2 =0

   <=>x+1=0

   <=>x=-1(tm)

   Vậy phương trình có nghiệm (x;y)=(-1;-1)

   Cách 2 :

   x^2 y +2y-2x+1=0(1)

   $\bullet$ Với y=0, khi đó phương trình (1)<=>x^2 . 0+2.0-2x+1=0

   <=>0+0-2x+1=0

   <=> 1-2x=0

   <=>2x=1

   <=>x=1/2(ktm)

   $\bullet$ Với y\ne 0, nhân cả 2 vế của phương trình (1) với y, ta được :

   x^2 y^2 +2y^2 -2xy+y=0

   <=>(x^2 y^2 -2xy+1)+(2y^2 +y-1)=0

   <=>[(xy)^2 -2.xy.1+1^2]+(2y^2 -y+2y-1)=0

   <=>(xy-1)^2 +[y(2y-1)+(2y-1)]=0

   <=>(xy-1)^2 +(y+1)(2y-1)=0

   $*$ Nếu y>1/2, ta có :

   (xy-1)^2 +(y+1)(2y-1) >(xy-1)^2 +(1/2+1)(2. 1/2-1)=(xy-1)^2 +3/2 . 0=(xy-1)^2 +0=(xy-1)^2 >=0

   Hay VT>0

   Mà VP=0

   => Vô lí

   $*$ Nếu y< -1, ta có :

   $\begin{cases}y+1 < -1+1=0 \\2y-1 < -1 . 2-1=-2-1=-3\end{cases}$

   =>(y+1)(2y-1)>0

   =>(y+1)(2y-1)+(xy-1)^2 >0

   Hay VT>0

   Mà VP=0

   => Vô lí

   $*$ Nếu -1 <=y<=1/2 :

   Mà x\in ZZ=>y= -1

   Thay vào (1), ta được : x^2 . (-1)+2.(-1)-2x+1=0

   <=> -x^2 -2-2x+1=0

   <=> -x^2 -2x-1=0

   <=> -(x^2 +2x+1)=0

   <=> -(x+1)^2 =0

   <=>x+1=0

   <=>x=-1(tm)

   Vậy phương trình có nghiệm (x;y)=(-1;-1)

   Trả lời