Cho `a>1;b>1;a+b<=3,` tìm GTNN của biểu thức: `K=1/(a^2+b^2-2(a+b)+2)+1/(ab-(a+b)+1)+4(ab-a-b)`

1 bình luận về “Cho `a>1;b>1;a+b<=3,` tìm GTNN của biểu thức: `K=1/(a^2+b^2-2(a+b)+2)+1/(ab-(a+b)+1)+4(ab-a-b)`”

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Theo đề bài : a+b<=3<=>a+b-2<=1

   a>1<=>a-1>0,b>1<=>b-1>0

   Có : (a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1<=((a+b)^2)/4-(a+b)+1=1/4[(a+b)^2 -4(a+b)+4]=1/4[(a+b)^2 -2.(a+b)^2 .2 +2^2]=1/4(a+b-2)^2 <=1/4 . 1^2 =1/4

   =>0<(a-1)(b-1)<=1/4

   a^2 +b^2 -2(a+b)+2=a^2 +b^2 -2a-2b+1+1=(a^2 -2a+1)+(b^2 -2b+1)=(a-1)^2 +(b-1)^2 =(a-1)^2 +2(a-1)(b-1)+(b-1)^2 -2(a-1)(b-1)=(a-1+b-1)^2 -2(a-1)(b-1)=(a+b-2)^2 -2(a-1)(b-1)<=1^2 -2(a-1)(b-1)=1-2(a-1)(b-1)

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

   K=1/(a^2 +b^2 -2(a+b)+2)+1/(ab-(a+b)+1)+4(ab-a-b)=1/(a^2 +b^2 -2(a+b)+2)+1/(ab-(a+b)+1)+4(ab-a-b+1)-4>=1/(1-2(a-1)(b-1))+1/((a-1)(b-1))+4(a-1)(b-1)-4=1/(1-2(a-1)(b-1))+4[1-2(a-1)(b-1)]+1/((a-1)(b-1))+16(a-1)(b-1)+[1-4(a-1)(b-1)]-9>=2\sqrt{1/(1-2(a-1)(b-1)). 4[1-2(a-1)(b-1)]}+2\sqrt{1/((a-1)(b-1)). 16(a-1)(b-1)}+(1-1/4 . 4)-9=2\sqrt{4}+2\sqrt{16}+0-5=2.2+2.4-5=4+8-9=3

   Dấu “=” xảy ra <=>a=b=3/2

   Vậy $MinK=3$<=>a=b=3/2

   Trả lời