Cho `a,b,c` là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR : `(a – b)/(a + b) + (b -c )/(b + c) + (c -a)/(c + a) = (|a – b||b – c||c

1 bình luận về “Cho `a,b,c` là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR : `(a – b)/(a + b) + (b -c )/(b + c) + (c -a)/(c + a) = (|a – b||b – c||c”

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    Có : {a-b}/{a+b}+{b-c}/{b+c}+{c-a}/{c+a}

   ={(a-b)(b+c)(a+c)+(b-c)(a+b)(a+c)+(c-a)(a+b)(b+c)}/{(a+b)(a+c)(b+c)}

   Xét (a-b)(b+c)(a+c)+(b-c)(a+b)(a+c)+(c-a)(a+b)(b+c)

   =(a+c)[(a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)]+(c-a)(a+b)(b+c)

   =(a+c)(ab+ac-b^2-bc+ab+b^2-ac-bc)+(c-a)(a+b)(b+c)

   =2b(a+c)(a-c)+(c-a)(a+b)(b+c)

   =(a-c)[2b(a+c)-(a+b)(b+c)]

   =(a-c)(2ab+2bc-ab-ac-b^2-bc)

   =(a-c)(a-b)(b-c)

   Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác 

   không mất tổng quát g/s a>=b>=c >0

   => a-b >=0 ; b-c >=0 : a-c >=0

   =>(a-b)(b-c)(a-c) >=0

   hay (a-b)(b-c)(a-c)=|(a-b)(b-c)(a-c)|=|(a-b)||(b-c)||(c-a)|

   =>{a-b}/{a+b}+{b-c}/{b+c}+{c-a}/{c+a}={|(a-b)||(b-c)||(c-a)|}/{(a+b)(b+c)(c+a)}

   (ĐPCM)

   Trả lời