Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). a) Chứng minh 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh OA vuông góc với BC. c) Vẽ đường kính BD. Chứng minh rằng DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
mọi người giúp em với em cần gấp ạ
Ta có:
AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B,C là tiếp điểm:
=>OB\botBA; OC\botCA
=>\triangleABO vuông tại B và \triangle ACO vuông tại C
=>B,C cùng thuộc đường tròn đường kính AO
=>4 điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn (điều phải chứng minh)
Gọi H là giao của OA và BC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
=>OA là phân giác \hat{BOC}
=>OH là phân giác \hat{BOC}
Mặt khác ta có: OB=OC=R
=>\triangleOBC cân tại O
\triangle OBC cân tại O có OH là đường phân giác BOC
=>OH đồng thời là đường cao
=>OH\botBC
=>OA\bot BC (điều phải chứng minh)
Ta có:
\triangleOBC cân tại O có OH là đường phân giác \hat{BOC}
=>OH đồng thời là đường trung tuyến
=>H là trung điểm BC
=>H là tâm đường tròn đường kính BC
BD là đường kính của (O)
=>\hat{BCD}=90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=>\hat{HCD}=90^o
=>DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC (điều phải chứng minh)