Giải hệ: $\{\begin{array}{l}{x}^3=3y^2-3y+1\\ y^3=3z^2-3z+1\\ z^3=3x^2-3x+1\end{array}$ Em muốn giải hệ này theo cách xét hàm ở c3,

1 bình luận về “Giải hệ: $\{\begin{array}{l}{x}^3=3y^2-3y+1\\ y^3=3z^2-3z+1\\ z^3=3x^2-3x+1\end{array}$ Em muốn giải hệ này theo cách xét hàm ở c3,”

1. $\{\begin{array}{l}{x}^3=3y^2–3y+1\text{ (1)}\\ y^3=3z^2–3z+1\text{ (2)}\\ z^3=3x^2–3x+1\text{ (3)}\end{array}$ $$ $3y^2–3y+1>\text{0,25}\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R}\Rightarrow x^3>\text{0,25}\Rightarrow x>\text{0,5}$ $\text{Tương tự ta có:}$ $x,y,z>\text{0,5}$ $$ $\text{(1) – (2)}$ $$\begin{gathered} \Rightarrow x^3–y^3=3(y^2–z^2)–3(y–z) \\ \iff (x–y)(x^2+xy+y^2)=3(y–z)(y+z)–3(y–z) \\ \iff (x–y)(x^2+xy+y^2)=3(y–z)(y+z–1)\text{ (4)} \\ \text{Do }x,y,z>\text{0,5}\Rightarrow \end{gathered}$$$$\{\begin{array}{l}{x}^2+xy+y^2>0\\ y+z–1>0\end{array}$$$$\begin{gathered} \text{Từ (4) ta có: }\text{Nếu }x–y\ge 0\text{ thì }y–z\ge 0\text{ hay nếu }x\ge y\text{ thì }y\ge z\Rightarrow x\ge z\text{ (5)} \\ \text{Chứng minh tương tự, với (2), (3) và }y\ge z\text{ ta suy ra }z\ge x\text{ (6)} \\ \text{Từ (5) và (6)}\Rightarrow x=y=z \\ \text{Hệ đã cho trở thành: }{x}^3=3x^2–3x+1 \\ \iff x^3–3x^2+3x–1=0 \\ \Rightarrow x=1 \\ \text{Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất }(x;y;z)=(1;1;1) \end{gathered}$$

   Trả lời