Tìm `x,y in ZZ` thỏa: `x(x^2+x+1)=4^y -1` Mình có đáp án rồi nên nhờ mọi ng chỉ hướng giải ạ

1 bình luận về “Tìm `x,y in ZZ` thỏa: `x(x^2+x+1)=4^y -1` Mình có đáp án rồi nên nhờ mọi ng chỉ hướng giải ạ”

1. Biến đổi ta được:

   $(x+1)(x^2+1)=4^y$

   $\Leftrightarrow (x+1)(x^2+1)=(2^y)^2$

   Đến đây ta nhớ đến tính chất:

   $\bullet$ $a,b\in Z$ mà $a,b$ nguyên liên tiếp và $ab=u^2(u\in Z)$ thì $a=0$ hoặc $b=0$

   $\bullet$ $a,b\in Z$ mà $\text{gcd}(a;b)=1$ và $ab=u^2(u\in Z)$ thì $a,b$ là các số chính phương.

   Thật vậy đặt $\text{gcd}(x+1;x^2+1)=d(d\in N^*,d$ lẻ$)$

   $\to d|x+1,d|x^2+1\to d|x^2-1,d|x^2+1\to d|2$ mà $d\in N^*,d$ lẻ $\to d=1$

   $\to \text{gcd}(x+1;x^2+1)=1$ nên $x+1,x^2+1$ là các số chính phương.

   Đặt $x^2+1=m^2(m\in Z)$

   $\to (|x|)^2+1=(|m|)^2\\\Leftrightarrow (|m|-|x|)(|m|+|x|)=1$

   Vì $|m|+|x|\ge 0, |m|-|x|\in Z,|m|+|x|\in N, |m|+|x|\ge |m|-|x|$ nên:

   $\begin{cases} |m|+|x|=1\\|m|-|x|=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} |m|=1\\|x|=0 \end{cases}$

   $\to x=0\to 4^y=1\to y=0$ 

   Thử lại $(x;y)=(0;0)$ thỏa mãn.

   Vậy $(x;y)=(0;0)$ là nghiệm nguyên của phương trình.

   Trả lời