Trang chủ » Hỏi đáp » Môn Toán Cho `1/a + 1/b + 1/c = 0`. Chứng minh rằng `bc/a^2 + ca/b^2 + ab/c^2 = 3` 09/04/2024 Cho `1/a + 1/b + 1/c = 0`. Chứng minh rằng `bc/a^2 + ca/b^2 + ab/c^2 = 3`
Đặt S=(bc)/(a^2)+(ca)/(b^2)+(ab)/(c^2)(ĐKXĐ:a $\neq$ 0;b $\neq$ 0;c $\neq$ 0) =(b^3 c^3)/(a^2 b^2 c^2)+(c^3 a^3)/(a^2 b^2 c^2)+(a^3 b^3)/(a^2 b^2 c^2) =((bc)^3+(ac)^3+(ab)^3)/((abc)^2) =((ab+bc)^3-3ab.bc.(ab+bc)+(ac)^3)/((abc)^2)(1) 1/a+1/b+1/c=0 <=>(bc)/(abc)+(ac)/(abc)+(ab)/(abc)=0 <=>(ab+ac+bc)/(abc)=0 <=>ab+ac+bc=0 <=>ab+bc=-ac(2) (1);(2)=>S=((-ac)^3-3ab.bc.(-ac)+(ac)^3)/((abc)^2) =(3(abc)^2)/((abc)^2) =3 Trả lời
Lời giải: Đặt x=1/a;y=1/b;z=1/c Ta có: x+y+z=0 =>x+y=-z =>(x+y)^3=(-z)^3 =>x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3 =>x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2 =>x^3+y^3+z^3=-3xy(x+y) =>x^3+y^3+z^3=-3xy.(-z) (Vì x+y=-z) =>x^3+y^3+z^3=3xyz =>1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/(abc) Ta có: (bc)/(a^2)+(ca)/(b^2)+(ab)/(c^2) =(abc)/(a^3)+(abc)/(b^3)+(abc)/(c^3) =abc(1/a^3+1/b^3+1/c^3) =abc. 3/(abc) =3 Vậy (bc)/(a^2)+(ca)/(b^2)+(ab)/(c^2)=3 Trả lời
2 bình luận về “Cho `1/a + 1/b + 1/c = 0`. Chứng minh rằng `bc/a^2 + ca/b^2 + ab/c^2 = 3`”