Trang chủ » Hỏi đáp » Môn Toán Cho tam giác ABC , góc A = 90 độ và AB = 1/2 BC . Chứng minh rằng góc C > góc B/2 ( vẽ hình nữa ạ ) 05/06/2023 Cho tam giác ABC , góc A = 90 độ và AB = 1/2 BC . Chứng minh rằng góc C > góc B/2 ( vẽ hình nữa ạ )
Để chứng minh góc C > góc B/2, ta sẽ sử dụng định lý sinus trong tam giác ABC. Gọi BD là đường cao của tam giác ABC (D nằm trên AC), và gọi x = BD/BC. Khi đó, ta có: AD = AB + BD = AB + BC * x = BC / 2 + BC * x (vì AB = 1/2 * BC) = BC / 2 * (x + 1) Theo định lý Pythagore trong tam giác ABD, ta có: AB^2 + BD^2 = AD^2 <=> AB^2 + x^2 * BC^2 = AD^2 <=> AB^2 + x^2 * BC^2 = BC^2 / 4 * (1 + 2x + x^2) <=> AB^2 + 4x^2 * BC^2 = BC^2 * (1 + 2x + x^2) <=> (1/4 + 4x^2) * BC^2 = AB^2 Vậy, ta có: sin(B) = AB / BC = sqrt((1/4 + 4x^2)) sin(C) = BC / AD = BC / (BC / 2 * (x + 1)) = 2 / (x + 1) Do đó, để chứng minh góc C > góc B/2, ta cần chứng minh rằng: sin(C) > sin(B/2) <=> 2 / (x + 1) > sqrt((1/4 + 4x^2)) / 2 Bình phương vế trái và vế phải của bất đẳng thức trên, ta được: 4 / (x + 1)^2 > 1/4 + 4x^2 <=> 16x^2 – 8x + 3 > 0 <=> (4x – 1)(4x – 3) > 0 Vì x < 1 (do BD là đường cao nên x < 1), nên 4x – 1 < 0 và 4x – 3 < 0. Từ đó suy ra: (4x – 1)(4x – 3) = 12 – 16x + 4x^2 > 0 Do đó, ta có: sin(C) = 2 / (x + 1) > sqrt((1/4 + 4x^2)) / 2 >= sin(B/2) Vậy, ta đã chứng minh được góc C > góc B/2. Trả lời
