Cho `a,b,c` là số nguyên dương thỏa mãn `P=a^2+b^2` là số nguyên tố và `P-5 \vdots 8` .Giả sử `ax^2-by^2 \vdots P` .Chứng min

1 bình luận về “Cho `a,b,c` là số nguyên dương thỏa mãn `P=a^2+b^2` là số nguyên tố và `P-5 \vdots 8` .Giả sử `ax^2-by^2 \vdots P` .Chứng min”

1. (p-5)\vdots 8 nên đặt p-5=8k(k\in ZZ)

   =>p=8k+5

   Phản chứng giả sử $x,y\not\vdots p$

   Mà p nguyên tố nên (x;p)=(y;p)=1

   Theo định lí Fermat nhỏ ta có: $x^{p-1}\equiv y^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$

   $\to x^{8k+4}+y^{8k+4}\equiv 2\pmod{p}$

   (ax^2-by^2)\vdots p

   $\to (a^{\dfrac{p-1}{2}} x^{p-1}-b^{\dfrac{p-1}{2}}y^{p-1})\vdots p$

   $\to (a^{4k+2}x^{8k+4}-b^{4k+2}y^{8k+4})\vdots p$

   $\to (a^{4k+2}(x^{8k+4}+y^{8k+4})-y^{8k+4}(a^{4k+2}+b^{4k+2}))\vdots p$

   Do $p=a^2+b^2\to (a^{4k+2}+b^{4k+2})\vdots p$

   Dễ thấy (a^{4k+2};p)=1(Vì a<p,p nguyên tố)

   =>(x^{8k+4}+y^{8k+4})\vdots p(Vô lí.)

   Do đó ta có đpcm.

   Trả lời