Ước số chung lớn nhất – Wikipedia tiếng Việt

articlewriting1

Trong toán học, ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) hay ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số nguyên là số nguyên dương lớn nhất là ước số chung của các số đó. Ví dụ, ước chung lớn nhất của 6 và 15 là 3 vì

6
:
3
=
2

{\displaystyle 6:3=2}

{\displaystyle 6:3=2} và

15
:
3
=
5

{\displaystyle 15:3=5}

{\displaystyle 15:3=5}.

Trong tiếng Anh, ước chung lớn nhất gọi là greatest common divisor (GCD), greatest common factor (GCF),[1] highest common factor (HCF),[2] greatest common measure (GCM),[3] hay highest common divisor (HCD).[4]

Trong trường hợp tổng thể số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của những số đó. Nếu trong những số đó có tối thiểu một số ít bằng 0 và tối thiểu một số ít khác 0 thì ƯCLN của chúng bằng ƯCLN của những số khác 0 .

Ước chung lớn nhất của a0, a1, a2,… an được ký hiệu là ƯCLN(a0, a1, a2,… an) hoặc (a0, a1, a2,… an).

Tìm ước chung lớn nhất của 27 và 45 ?Ta có :

  • Các ước của 27 là 1, 3, 9, 27 { \ displaystyle 1,3,9,27 }{\displaystyle 1,3,9,27}
  • Các ước của 45 là 1, 3, 5, 9, 15, 45 { \ displaystyle 1,3,5,9,15,45 }{\displaystyle 1,3,5,9,15,45}

Những số nằm trong cả hai list được gọi là những ước chung của 27 và 45 :

1
,
3
,
9

{\displaystyle 1,3,9}

{\displaystyle 1,3,9}

Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết UCLN ( 27,45 ) = 9

Số nguyên tố cùng nhau[sửa|sửa mã nguồn]

Các số được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là hai số nguyên tố cùng nhau .Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng phân số tối giản. Chẳng hạn, ƯCLN ( 42, 56 ) = 14, do đó ,

42 56 = 3 ⋅ 14 4 ⋅ 14 = 3 4. { \ displaystyle { 42 \ over 56 } = { 3 \ cdot 14 \ over 4 \ cdot 14 } = { 3 \ over 4 }. }{\displaystyle {42 \over 56}={3\cdot 14 \over 4\cdot 14}={3 \over 4}.}

Các đặc thù[sửa|sửa mã nguồn]

  • Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các só đó.
  • Với các số nguyên a0, a1, a2,… an, ƯCLN(a0, a1, a2,… an) có thể được định nghĩa tương đương như số nguyên dương d nhỏ nhất có dạng d = ∑ k = 0 n a k x k { \ displaystyle \ sum _ { k = 0 } ^ { n } a_ { k } x_ { k } }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{k}}xk là các số nguyên. Định lý này được gọi là đẳng thức Bézout. Các số xk có thể tính nhờ Giải thuật Euclid mở rộng.
  • ƯCLN(a, 0) =|a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác 0 bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là|a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.
  • Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.
  • Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(ma0, ma1, ma2,…man) = m · ƯCLN(a0, a1, a2,… an).
  • Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN(a + m · b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.
  • ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu các số a1, a2,…,an là các số nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1 · a2 · … · an, b) = ƯCLN(a1, b) · ƯCLN (a2, b) · … · ƯCLN (an, b).
  • ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).
  • ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).
  • ƯCLN(a, b) quan hệ chặt chẽ với BCNN(a, b): ta có
ƯCLN(a, b) · BCNN(a, b) = a · b.
Công thức này thường được dùng để tính BCNN của 2 số. Dạng khác của mối quan hệ này là tính chất phân phối:
BCNN(a, ƯCLN(a0, a1, a2,… an)) = ƯCLN(BCNN(a, a0), BCNN(a, a1), BCNN(a,a2),…,BCNN(a,an)).
  • Nếu sử dụng định nghĩa ƯCLN(0, 0) = 0 và BCNN(0, 0) = 0 thì khi đó tập các số tự nhiên trở thành một dàn đầy đủ phân phối với ƯCLN.
  • Trong Hệ tọa độ Descartes, ƯCLN(a, b) biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (a, b), trừ chính điểm (0, 0).

Tìm ước chung lớn nhất bằng cách nghiên cứu và phân tích ra thừa số nguyên tố[sửa|sửa mã nguồn]

Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ:

90 = 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 { \ displaystyle 90 = 2 ^ { 1 } \ cdot 3 ^ { 2 } \ cdot 5 ^ { 1 } = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 \, \ ! }{\displaystyle 90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\,\!}

Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.

Kiến thức này hoàn toàn có thể giúp tất cả chúng ta tìm ƯCLN của một tập hợp những số .Ví dụ : Tìm giá trị của ƯCLN ( 12, 32, 60 ) .Đầu tiên, ta nghiên cứu và phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa những số nguyên tố .

12 = 2 2 ⋅ 3 { \ displaystyle 12 = 2 ^ { 2 } \ cdot 3 }{\displaystyle 12=2^{2}\cdot 3}
32 = 2 5 { \ displaystyle 32 = 2 ^ { 5 } }{\displaystyle 32=2^{5}}
60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 { \ displaystyle 60 = 2 ^ { 2 } \ cdot 3 \ cdot 5 }{\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}

Với mỗi thừa số nguyên tố có chung trong các số, chọn lũy thừa thấp nhất, tích của chúng cho ta giá trị ƯCLN cần tìm. Thừa số 2 có ở cả ba số, có bậc thấp nhất là 22. Do đó:

UCLN ⁡ ( 12, 32, 60 ) = 2 2 = 4 { \ displaystyle \ operatorname { UCLN } ( 12,32,60 ) = 2 ^ { 2 } = 4 }{\displaystyle \operatorname {UCLN} (12,32,60)=2^{2}=4}

Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ. Việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian.

Để tìm ƯCLN của 2 số tự nhiên thì chiêu thức hiệu suất cao là giải thuật Euclid dựa trên dãy liên tục những phép chia có dư .

Nếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a và b có thể tính qua bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b:

U
C
L
N
(
a
,
b
)
=

a
⋅
b

B
C
N
N
(
a
,
b
)

{\displaystyle UCLN(a,b)={\frac {a\cdot b}{BCNN(a,b)}}}

{\displaystyle UCLN(a,b)={\frac {a\cdot b}{BCNN(a,b)}}}

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Viết một bình luận