Cho phương trình x2-(2m+1)x+m=0 Tìm m để biểu thức A=x12+x22-4x1x2+2đạt giá trị nhỏ nhất?

1 bình luận về “Cho phương trình x2-(2m+1)x+m=0 Tìm m để biểu thức A=x12+x22-4x1x2+2đạt giá trị nhỏ nhất?”

1. x² – ( 2m +1). x + m = 0

   a = 1; b= – (2m + 1) ; c = m

   Δ = b² – 4ac = [- ( 2m +1) ]² – 4. 1. m

   = ( 2m + 1)² – 4m

   = 4m² + 4m + 1 – 4m

   = 4m² + 1 > 0 với mọi m

   Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

   Theo hệ thức Vi-ét:

   x1 + x2 = -b/a =  2m + 1

   x1 . x2 = c/a = m

   Theo đề, ta có:

   A = x1² + x2² – 4.x1. x2 + 2

   = x1² + 2.x1.x2 + x2² – 6.x1.x2 +2

   = ( x1 + x2)² – 6.x1.x2 +2

   = ( 2m + 1)² – 6m + 2

   = 4m² + 4m + 1 – 6m + 2

   = 4m² – 2m + 3

   = 3m² + m² – 2. m . 1 + 1² + 2

   = 3m² + ( m – 1)² + 2

   Ta có: m²≥ 0 ∀ m

   ⇔ 3m² ≥ 0 ∀ m

   Mà ( m – 1)² ≥ 0 ∀ m

   ⇒ 3m² + ( m – 1)² ≥ 0 ∀ m

   ⇔ 3m² + ( m – 1)² + 2 ≥ 2 ∀ m

   ⇔ A ≥ 2 ∀ m

   Vậy GTNN của A là 2

   Đạt được khi

   3m² + ( m – 1)² = 0

   ⇒ 3m² + m² – 2m  + 1 = 0

   ⇔ 4m² – 2m + 1 = 0

   Δ’ = b’² – ac = (-1)² – 4. 1 =  -3 < 0

   ⇒ pt vô nghiệm

   Trả lời