Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
≠
{\displaystyle \neq }
Tập hợp các số hữu tỉ[2], hay còn gọi là trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Khai triển thập phân của 1 số ít hữu tỉ kết thúc sau một số ít hữu hạn chữ số ( ví dụ : 3/4 = 0.75 hoặc thậm chí còn khởi đầu lặp lại một số ít hữu hạn cùng dãy những chữ số lặp đi lặp lại ( ví dụ : 9/44 = 0.20454545 … ). [ 6 ] trái lại, bất kể số thập phân lặp lại tuần hoàn hoặc kết thúc sau hữu hạn chữ số đều đại diện thay mặt cho một số ít hữu tỉ. Các phát biểu này đúng trong cơ số 10 và trong mọi cơ số nguyên khác ( ví dụ : nhị phân hoặc thập lục phân ) .
Một số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao gồm
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
Bạn đang đọc: Số hữu tỉ – Wikipedia tiếng Việt
Số hữu tỉ có thể được định nghĩa một cách chính tắc là các lớp tương đương của các cặp số nguyên (p, q) với q ≠ 0, sử dụng quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:
(
p
1
,
q
1
)
∼
(
p
2
,
q
2
)
⟺
p
1
q
2
=
p
2
q
1
.
{\displaystyle \left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}
Phân số p/q khi đó biểu thị lớp tương đương của (p, q).[9]
Số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân tạo thành một trường trong đó có chứa các số nguyên, và được chứa trong bất kỳ trường nào có chứa các số nguyên. Nói cách khác, trường số hữu tỉ là một trường nguyên tố và một trường có đặc trưng là 0 nếu và chỉ khi nó chứa các số hữu tỉ dưới dạng một trường con. Phần mở rộng hữu hạn của Q được gọi là trường số đại số và phần đóng đại số của Q là trường số đại số.[10]
Trong giải tích toán học, những số hữu tỉ tạo thành một tập con trù mật của những số thực. Các số thực hoàn toàn có thể được thiết kế xây dựng từ những số hữu tỉ bằng cách hoàn thành xong, sử dụng chuỗi Cauchy, cắt Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn ( để biết thêm, xem Xây dựng những số thực ) .
Thuật ngữ hữu tỷ trong tên của tập hợp Q đề cập đến thực tế rằng một số hữu tỷ biểu thị một tỷ số của hai số nguyên. Tính từ hữu tỉ đôi khi có nghĩa là các hệ số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một điểm có toạ độ hữu tỉ (tức là một điểm có toạ độ là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là một ma trận của các số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ có thể là một đa thức với các hệ số hữu tỉ, mặc dù thuật ngữ “đa thức trên các số hữu tỉ” thường được ưu tiên hơn, để tránh nhầm lẫn giữa ” biểu thức hữu tỉ ” và ” hàm hữu tỉ” (đa thức là một biểu thức hữu tỉ và định nghĩa một hàm hữu tỉ, ngay cả khi các hệ số của nó không phải là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đường cong hữu tỷ không phải là một đường cong được xác định trên các số hữu tỷ, mà là một đường cong có thể được tham số hóa bằng các hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]
Từ nguyên này tương tự như từ nguyên của số ảo và số thực.
Phân số tối giản[sửa|sửa mã nguồn]
Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng một phân số tối giản a/b, trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và b > 0. Đây thường được gọi là dạng chính tắc của số hữu tỉ.
Bắt đầu từ một số hữu tỉ a/b, dạng chính tắc của nó có thể nhận được bằng cách chia a và b cho ước chung lớn nhất của chúng, và nếu b < 0, thay đổi dấu của tử số và mẫu số.
Nhúng những số nguyên[sửa|sửa mã nguồn]
Mọi số nguyên n có thể được biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chính tắc của nó dưới dạng một số hữu tỉ.
a
b
=
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, thì :
a
b
=
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
khi và chỉ khi
a
=
c
{\displaystyle a=c}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
Nếu cả hai mẫu số đều dương ( đặc biệt quan trọng nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc ) :
a
b
<
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}
a
d
<
b
c
.
{\displaystyle ad
Mặt khác, nếu một trong hai mẫu số là âm, thì thứ nhất mỗi phân số có mẫu số âm phải được chuyển thành dạng tương tự với mẫu số dương — bằng cách đổi dấu của cả tử số và mẫu số của nó. [ 9 ]
Hai số hữu tỷ được cộng như sau :
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}
Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, hiệu quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi b và d là những số nguyên tố cùng nhau. [ 9 ] [ 11 ]
Hai số hữu tỷ được trừ như sau :
a
b
−
c
d
=
a
d
−
b
c
b
d
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}
Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, hiệu quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi b và d là những số nguyên tố cùng nhau. [ 9 ]
Hai số hữu tỷ được nhân như sau :
a
b
⋅
c
d
=
a
c
b
d
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}
trong đó tác dụng hoàn toàn có thể là một phân số hoàn toàn có thể rút gọn — ngay cả khi cả hai phân số khởi đầu đều ở dạng chính tắc. [ 9 ] [ 11 ]
Nghịch đảo phép cộng và phép nhân[sửa|sửa mã nguồn]
Mọi số hữu tỉ a/b có một nghịch đảo phép cộng, thường được gọi là số đối của nó,
−
(
a
b
)
=
−
a
b
.
{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}
Nếu như a/b ở dạng chính tắc, thì số đối của nó cũng ở dạng này.
Một số hữu tỉ khác không a/b có nghịch đảo phép nhân, còn gọi là nghịch đảo của nó,
(
a
b
)
−
1
=
b
a
.
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}
Nếu như a/b ở dạng chính tắc, thì dạng chính tắc của nghịch đảo của nó là b/a hoặc −b/−a, phụ thuộc vào dấu của a.[cần dẫn nguồn]
Nếu b, c và d khác không, quy tắc chia là
a
b
c
d
=
a
d
b
c
.
{\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}
Như vậy, chia a/b cho c/d tương đương với nhân a/b với nghịch đảo của c/d:
a
d
b
c
=
a
b
⋅
d
c
.
{\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}
Lũy thừa với số mũ nguyên[sửa|sửa mã nguồn]
Nếu n là một số nguyên không âm, thì
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
.
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}
Kết quả ở dạng chuẩn tắc nếu a/b ở dạng chuẩn tắc. Đặc biệt,
(
a
b
)
0
=
1.
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}
Nếu a ≠ 0, thì
(
a
b
)
−
n
=
b
n
a
n
.
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}
Nếu như a/b ở dạng chuẩn tắc, dạng chuẩn tắc của kết quả là bn/an nếu a > 0 hoặc n chẵn. Nếu không, dạng chuẩn tắc của kết quả là −bn/−an.
Biểu diễn trong hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa|sửa mã nguồn]
Khi trình diễn số hữu tỉ theo hệ ghi số cơ số 10 ( dạng thập phân ), số hữu tỉ hoàn toàn có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại .Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn
VD: phân số
4
25
{\displaystyle {\frac {4}{25}}}
25
=
5
2
{\displaystyle 25=5^{2}}
4
25
=
0
,
16
{\displaystyle {\frac {4}{25}}=0,16}
Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có tối thiểu 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
Ví dụ 1: phân số
5
7
{\displaystyle {\frac {5}{7}}}
5
7
{\displaystyle {\frac {5}{7}}}
=
0
,
71428571428571428571428571428571…
{\displaystyle =0,71428571428571428571428571428571…\,}
=
0
,
(
714285
)
{\displaystyle =0,(714285)\,}
Ví dụ 2: phân số
24
17
{\displaystyle {\frac {24}{17}}}
24
17
{\displaystyle {\frac {24}{17}}}
=
1
,
4117647058823529411764705882353…
{\displaystyle =1,4117647058823529411764705882353…\,}
=
1
,
(
4117647058823529
)
{\displaystyle =1,(4117647058823529)\,}
Dãy những chữ số lặp lại trong màn biểu diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số trong chu kỳ luân hồi này hoàn toàn có thể chứng tỏ được rằng không vượt quá | b | .Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kể, những chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn .
Biểu diễn bằng liên phân số[sửa|sửa mã nguồn]
Một liên phân số hữu hạn là một biểu thức chẳng hạn như
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
⋱
+
1
a
n
,
{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}
trong đó an là các số nguyên. Mọi số hữu tỉ a/b có thể được biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn, mà hệ số an có thể được xác định bằng cách áp dụng thuật toán Euclide cho (a, b).
Xây dựng tập những số hữu tỉ từ tập số nguyên[sửa|sửa mã nguồn]
Biểu đồ bộc lộ sự trình diễn những lớp tương tự của những cặp số nguyên
Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như trường các thương của
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Xét tập tích Decaters :
- Q. × Z ∗ { \ displaystyle \ mathbb { Q } \ times \ mathbb { Z } ^ { * } }
{ ( a ; b ) | a ∈ Z, b ∈ Z ∗ } { \ displaystyle \ { ( a ; b ) | a \ in \ mathbb { Z }, b \ in \ mathbb { Z } ^ { * } \ } }
Trên đó xác lập một quan hệ tương tự :
-
- ( a, b ) ∼ ( c, d ) ⇔ a d = b c { \ displaystyle \ left ( a, b \ right ) \ sim \ left ( c, d \ right ) \ Leftrightarrow ad = bc }
- ( a, b ) ∼ ( c, d ) ⇔ a d = b c { \ displaystyle \ left ( a, b \ right ) \ sim \ left ( c, d \ right ) \ Leftrightarrow ad = bc }
lớp tương tự của cặp ( a, b ) được ký hiệu là a / b và gọi là thương của a cho b :
- b / a = [ ( a, b ) ] ∼ { \ displaystyle b / a = { \ left [ ( a, b ) \ right ] } _ { \ sim } }
![{\displaystyle b/a={\left[(a,b)\right]}_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa0000db70f104dc673bf445545c920283e8ca5 "Số hữu tỉ là gì? 83")
Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
.
Trên tập
Z
×
Z
∗
{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}}
- ( a, b ) + ( c, d ) = ( a d + b c, b d ) { \ displaystyle \ left ( a, b \ right ) + \ left ( c, d \ right ) = \ left ( ad + bc, bd \ right ) }
- ( a, b ) × ( c, d ) = ( a c, b d ) { \ displaystyle \ left ( a, b \ right ) \ times \ left ( c, d \ right ) = \ left ( ac, bd \ right ) }
Khi đó
nếu
(
a
,
b
)
∼
(
a
′
,
b
′
)
{\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(a’,b’\right)}
(
c
,
d
)
∼
(
c
′
,
d
′
)
{\displaystyle \left(c,d\right)\sim \left(c’,d’\right)}
- thì ( a, b ) + ( c, d ) ∼ ( a ′, b ′ ) + ( c ′, d ′ ) { \ displaystyle \ left ( a, b \ right ) + \ left ( c, d \ right ) \ sim \ left ( a ‘, b ‘ \ right ) + \ left ( c ‘, d ‘ \ right ) }
- và ( a, b ) × ( c, d ) ∼ ( a ′, b ′ ) × ( c ′, d ′ ) { \ displaystyle \ left ( a, b \ right ) \ times \ left ( c, d \ right ) \ sim \ left ( a ‘, b ‘ \ right ) \ times \ left ( c ‘, d ‘ \ right ) }
Do đó những phép toán trên hoàn toàn có thể được chuyển sang thành những phép toán trên tập những lớp tương tự nói trên, nghĩa là tập Q { \ displaystyle \ mathbb { Q } } .
Để xem
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
là bộ phận của
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
ta nhúng
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
vào
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
.\
Minh họa về tính hoàn toàn có thể đếm được của những số hữu tỷ dươngTập hợp Z của tổng thể những số hữu tỉ, cùng với những phép toán cộng và nhân được trình diễn ở trên, tạo thành một trường. [ 9 ]Z không có phép tự đẳng cấu nào ngoài giá trị đơn vị chức năng .
Với thứ tự được định nghĩa ở trên, Z là trường có thứ tự[11] không có trường con nào khác ngoài chính nó, và là trường có thứ tự nhỏ nhất, theo nghĩa là mọi trường có thứ tự đều chứa một trường con duy nhất đẳng cấu với Z.
Z là trường phân số của tập hợp các số nguyên Q.[13] Tính đóng đại số của Q, tức là trường của các nghiệm của các đa thức hữu tỷ, là trường của các số đại số.[cần dẫn nguồn]
Tập hợp tất cả các số hữu tỉ có thể đếm được (xem hình vẽ), trong khi tập hợp tất cả các số thực (cũng như tập hợp các số vô tỉ) là không đếm được. Có thể đếm được, tập hợp các số hữu tỉ là tập hợp rỗng, tức là hầu hết tất cả các số thực đều vô tỉ, theo nghĩa của độ đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn]
Số hữu tỷ là một tập hợp có trật tự trù mật : giữa hai số hữu tỷ bất kể, có một số ít hữu tỷ khác, và do đó, có vô số số hữu tỷ khác giữa chúng. [ 9 ] Ví dụ, so với hai phân số bất kể thỏa mãn nhu cầua b < c d { \ displaystyle { \ frac { a } { b } } < { \ frac { c } { d } } }
(với
b
,
d
{\displaystyle b,d}
a
b
<
a
+
c
b
+
d
<
c
d
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}
Bất kỳ tập hợp có thứ tự trọn vẹn nào hoàn toàn có thể đếm được, trù mật ( theo nghĩa trên ) và không có thành phần nhỏ nhất hoặc lớn nhất nào là đẳng cấu thứ tự với tập hợp những số hữu tỉ. [ 14 ]
Với số thực và đặc thù pô[sửa|sửa mã nguồn]
Số hữu tỉ là một tập con trù mật của những số thực : mọi số thực đều có những số hữu tỉ gần nó một cách tùy ý. [ 9 ] Một đặc thù tương quan là số hữu tỉ là số duy nhất có lan rộng ra hữu hạn dưới dạng liên phân số thường thì .
Theo thứ tự của chúng, các số hữu tỷ có một cấu trúc liên kết trật tự. Các số hữu tỉ, như một không gian con của các số thực, cũng có một cấu trúc liên kết không gian con. Các số hữu tỉ tạo thành một không gian số liệu bằng cách sử dụng metric chênh lệch tuyệt đối d(x, y) = | x − y |, và điều này tạo ra một cấu trúc liên kết thứ ba trên Q. Tất cả ba cấu trúc liên kết trùng hợp và biến các hợp lý thành một trường tôpô. Các số hữu tỉ là một ví dụ quan trọng của một không gian không phải là nhỏ gọn cục bộ. Các hợp lý được đặc trưng về mặt cấu trúc liên kết là không gian có thể đếm được duy nhất mà không có điểm cô lập. Không gian này cũng hoàn toàn bị ngắt kết nối. Các số hữu tỉ không tạo thành một không gian số liệu hoàn chỉnh ; các số thực là sự hoàn thành của Q theo metric d(x, y) = | x − y | bên trên.[11]
Ngoài metric giá trị tuyệt đối được đề cập ở trên, có những số liệu khác biến Q thành một trường tô pô liên kết:
Cho p là một số nguyên tố và với mọi số nguyên khác không a, cho | a |p = p−n, trong đó pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết a.
Ngoài ra ta đặt | 0 |p = 0. Đối với bất kỳ số hữu tỉ a/b, ta đặt | a/b |p = | a |p/| b |p .
Khi đó dp(x, y) = | x − y |p xác định một metric trên Q[15]
Không gian metric (Q, dp) không hoàn chỉnh và phần hoàn thành của nó là trường số p -adic Qp. Định lý Ostrowski phát biểu rằng bất kỳ giá trị tuyệt đối không tầm thường nào trên số hữu tỉ Q đều tương đương với giá trị tuyệt đối thực thông thường hoặc giá trị tuyệt đối p -adic.
Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]
- Số hữu tỉ tại MathWorld.
Source: https://tbdn.com.vn
Category: 1000 Câu Hỏi Vì Sao
