cho x , y là các số thực dương thỏa mãn : `x^2 + y^2 = 1 ` Tìm GTNN của : `B = (( x + 1 ) ( y + 1 ) ( x + y ))/( xy )`

1 bình luận về “cho x , y là các số thực dương thỏa mãn : `x^2 + y^2 = 1 ` Tìm GTNN của : `B = (( x + 1 ) ( y + 1 ) ( x + y ))/( xy )`”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   B = ((x + 1)(y + 1)(x + y))/(xy) = ((xy + x + y + 1)(x + y))/(xy)

   Ta có: x + y ≥ 2$\sqrt{xy}$

   => B ≥ ((2\sqrt{xy})(xy + 2\sqrt{xy} + 1))/(xy)

   = (2(xy + 2\sqrt{xy} + 1))/(\sqrt{xy}) = 2(\sqrt{xy} + 1/(\sqrt{xy}) + 2)

   = 2(\sqrt{xy} + 1/(2\sqrt{xy}) + 1/(2\sqrt{xy}) + 2)

   = 2(\sqrt{xy} + 1/(2\sqrt{xy})) + 1/\sqrt{xy} + 4

   Ta có: \sqrt{xy} + 1/(2\sqrt{xy}) ≥ \sqrt{2} (BĐT cô si)

   \sqrt{xy} ≤ (x + y)/2

   2(x² + y²) ≥ (x + y)² (BDDT bunhia) => x + y ≤ \sqrt{2(x² + y²)}

   =>  \sqrt{xy} ≤ (x + y)/2 ≤ \sqrt{2(x² + y²)}/2

   => 1/\sqrt{xy} ≥  2/\sqrt{2(x² + y²)} = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}

   => B ≥ 2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 4

   Dấu = xảy ra khi x = y = 1/ \sqrt{2}

   Vậy…

    

    

   Trả lời